Fehlergrenze

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Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen
2 Schreibweise
3 Quantitative Angaben
4 Rechnen mit Fehlergrenzen
5 Siehe auch

[Bearbeiten] Definitionen

In der praktischen Messtechnik sind die Fehlergrenzen gemäß DIN 1319-1, Nr. 5.12, vereinbarte oder garantierte Höchstwerte für positive oder negative Abweichungen der Anzeige (Ausgabe) einer Messeinrichtung vom richtigen Wert. Fehlergrenzen sind begrifflich streng zu unterscheiden von den Messfehlern und der Messunsicherheit.

Beim Kauf eines Messgerätes eines seriösen Herstellers werden in der Regel nicht die tatsächlichen Abweichungen garantiert, sondern Höchstwerte unter festgelegten Bedingungen. Fehlergrenzen hängen vom technischen Aufwand und von prinzipiellen Grenzen ab.

Es gibt eine obere und eine untere Fehlergrenze, die meistens gleich groß sind. Man spricht dann von symmetrischen Fehlergrenzen $G$ , die stets als Betrag anzugeben sind.

Es gilt für den (absoluten) Fehler $F$

$\mid F \mid \le G$

Entsprechend gibt es eine relative Fehlergrenze $g$ derart, dass für den relativen Fehler $f$ gilt

$\mid f \mid \le g$

Die Bezugsgröße für die relative Fehlergrenze ist wie beim relativen Fehler der richtige Wert $x r$ ;

$\quad g = G/|x_r |$

[Bearbeiten] Schreibweise

Der angezeigte (ausgegebene) Wert $x a$ liegt dann in einem Bereich

$x_r -G\le x_a \le x_r +G$ .

Dieses wird verkürzt zur Schreibweise

$x_a = x_r \pm G$ ,

was keineswegs so gedeutet werden darf, als ob $x a$ nur zwei Werte annehmen könnte.

Soll die relative Fehlergrenze im Ergebnis vorkommen, so ist das möglich, indem man $x r$ ausklammert

$x_a = x_r \left( 1\pm \frac{G}{x_r } \right) = x_r (1 \pm g)$

Keineswegs darf $x_r \pm g$ geschrieben werden, weil dann ein Wert mit Einheit und ein Wert ohne Einheit zu addieren wären.

[Bearbeiten] Quantitative Angaben

Bei der quantitativen Angabe von Unsicherheiten und Fehlergrenzen sollte man die Qualität einer Angabe im Blick behalten.

Beisp.: Eine Angabe „5 %“ dürfte eine Schätzung beinhalten und für „etwa 5 %“ stehen; die „5“ ist in diesem Zusammenhang niemals mathematisch exakt, dass man ihr nach dem Komma beliebig viele Nullen anhängen könnte. Eine Angabe „4,8 %“ wird kaum ein Indiz erhöhter Sorgfalt sein.

Aus einer „groben“ Ausgangsposition sollte man keine „feinen“ Ergebnisse ableiten, denn aus den Regeln zur Fehlerfortpflanzung von Fehlergrenzen bei voneinander unabhängigen Werten ergibt sich (siehe unten: Rechnen mit Fehlergrenzen):

Man kann nie genauer werden als das, was man hineinsteckt. (Eine Ausnahme gilt bei zufälligen Fehlern: Hier wird nach wiederholten Messungen der Mittelwert genauer als der Einzelmesswert).

Beisp. : 5 %·15,6 V = 0,8 V und nicht 0,78 V,

es sei denn, man kann 5,0 % verantwortlich angeben.

Diese Forderung entspricht der Forderung in DIN 1333: Unsicherheiten werden mit einer signifikanten Stelle angegeben, ausgenommen bei den Ziffern 1 oder 2, dann werden zwei signifikante Stellen angegeben.

Beisp. : 5 %·35,6 V = 1,8 V und nicht 2 V.

Eine führende Null ist nicht signifikant.

Beisp. : Die Angabe 0,8 V enthält nur eine signifikante Stelle.

Es liegt im Begriff des Grenzwertes, dass nur auf- und nicht abgerundet werden darf; entsprechendes gilt für die Unsicherheit nach DIN 1333. Eigentlich wäre eine Fehlergrenze 5 %·6,2 V = 0,31 V auf 0,4 V auf- und nicht auf 0,3 V abzurunden; doch sollte man hier ein gewisses Augenmaß behalten, denn bereits 4,8 %·6,2 V < 0,3 V.

Selbstverständlich sollte man in Zwischenschritten genauer rechnen, damit sich Rundungsfehler nicht aufschaukeln.

Angaben und Beispiele zu Messgeräte-Fehlergrenzen findet man

für analoge elektrische Messgeräte unter Genauigkeitsklasse gemäß DIN EN 60051,
für digitale elektrische Messgeräte unter Digitalmultimeter, Messgerätefehler.

[Bearbeiten] Rechnen mit Fehlergrenzen

Kann man ein Messergebnis $y$ erst aus mehreren voneinander unabhängigen Messwerten $x i$ ausrechnen, so ist mathematisch gesagt $y$ eine Funktion von mehreren unabhängigen Variablen $x i$

$y=y(x_1 ,\ x_2 ,\ \cdots )$

Änderungen der unabhängigen Variablen um ein kleines $Δ x i$ werden mit der Funktion übertragen und führen zu einer Änderung der abhängigen Variablen um ein $Δ y$ , und zwar gemäß den Regeln der Mathematik

$\Delta y \approx \frac{\partial y}{\partial x_1 } \Delta x_1 + \frac{\partial y}{\partial x_2 }\Delta x_2 +\cdots$ .

Kennt man nicht die Änderungen (Messfehler oder Messabweichungen) selber, sondern nur ihre Grenzwerte (Fehlergrenzen) $G i$ , so lässt sich damit auch nur die Fehlergrenze $G y$ des Ergebnisses angeben; dabei ist im Sinne des Grenzwertes die ungünstigste Vorzeichenkombination der Summanden zu Grunde zu legen

$G_y = \left| \frac{\partial y}{\partial x_1 }\right| G_1 + \left| \frac{\partial y}{\partial x_2 }\right| G_2 + \cdots$