Dynamisches System

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Unter einem dynamischen System versteht man das mathematische Modell eines zeitabhängigen Prozesses. Der Begriff geht in seiner heutigen Form auf den Mathematiker George David Birkhoff zurück. Dynamische Systeme finden vielfältige Anwendungen auf Prozesse im Alltag und erlauben Einblicke in viele Bereiche nicht nur der Mathematik (z. B. Zahlentheorie, Stochastik), sondern auch der Physik (z. B. Pendelbewegung, Klimamodelle) oder der theoretischen Biologie (z. B. Räuber-Beute-Modelle).

Man unterscheidet zwischen kontinuierlicher und diskreter Zeitentwicklung. Bei einem diskreten System interessiert man sich für die Zustandsänderungen bei festen endlichen Zeitsprüngen. Bei einem kontinuierlichen dynamischen System wird die Zustandsänderung hingegen für infinitesimal kleine Zeitschritte beschrieben. Wichtigste Beispiele für kontinuierliche dynamische Systeme sind autonome gewöhnliche Differenzialgleichungen.

Ein gemischtes System aus kontinuierlichen und diskreten Teilsystemen - mit dann kontinuierlich-diskreter Dynamik - wird auch als hybrides dynamisches System bezeichnet. Beispiele solcher strukturvariabler Dynamiken finden sich in der Verfahrenstechnik (bspw. Dosiervorlagesysteme). Die mathematische Beschreibung erfolgt durch hybride Modelle bspw. durch schaltende Differentialgleichungen.

Inhaltsverzeichnis

1 Formale Definition
- 1.1 Erläuterung
2 Wichtige Spezialfälle
3 Beispiele
- 3.1 Ein differenzierbares dynamisches System aus der Physik
- 3.2 Ein dynamisches System aus der Biologie
4 Weblinks
5 Literatur

[Bearbeiten] Formale Definition

Ein dynamisches System ist rein formal gegeben durch eine Gruppenwirkung. Genauer gesagt ist es ein Tripel $(G,\Omega,\varphi)$ , wobei $(G, + , e)$ eine Gruppe mit neutralem Element 0, $Ω$ eine nichtleere Menge und $\varphi: \Omega \times G \rightarrow \Omega$ eine Abbildung sei, so dass für alle $x \in \Omega, g,h \in G$ gilt

$\varphi(x,0)=x$ und
$\varphi(\varphi(x,g),h) = \varphi(x,g+h)$ .

[Bearbeiten] Erläuterung

Unter Eigenschaft 1 aus der Definition versteht man die Identitätseigenschaft, d. h. ein Zustand verändert sich nicht nach 0 Zeiteinheiten. Eigenschaft 2 gibt die Halbgruppeneigenschaft wieder. Man gelangt zunächst in $s$ Zeiteinheiten von $x$ nach $\varphi(x,s)$ und anschließend in $t$ Zeiteinheiten von $\varphi(x,s)$ nach $\varphi(x,s+t)$ . Alternativ zu 2 schreibt man auch $\varphi_{t+s}=\varphi_{t} \circ \varphi_{s}$ .

Durch Projektion erhält man aus dem Fluss $\varphi(x,t)$ den Orbit (die Trajektorie) $x (t)$ , das heißt, die Bahn der Lösung im Zustandsraum. In der Theorie dynamischer Systeme interessiert man sich besonders bei gegebenem $x$ für das Verhalten des Flusses für $t \rightarrow \pm \infty$ . Hierbei sind Limesmengen von großer Bedeutung. Dabei sind Fixpunkte gerade diejenigen Punkte x des Phasenraums, für die ein Fluss dessen Orbit für $t \rightarrow \infty$ gegen x strebt existiert und Limesmengen Mengen solcher Punkte. Die wichtigsten Limesmengen sind neben Fixpunkten die periodischen Orbits. Gerade in nichtlinearen Systemen trifft man aber auch komplexe nichtperiodische Grenzmengen an. In der Theorie der nichtlinearen Systeme werden Fixpunkte, periodische Orbits und allgemeine nichtperiodische Grenzmengen unter dem Oberbegriff Attraktor (vgl. auch seltsamer Attraktor) subsumiert. Diese werden in der Chaostheorie ausführlich untersucht.

[Bearbeiten] Wichtige Spezialfälle

Stetige dynamische Systeme: $G$ ist topologische Gruppe, $Ω$ ist topologischer Raum und $\varphi$ ist stetig. In manchen Wissenschaften synonym: kontinuierliche dynamische Systeme oder kurz kontinuierliche Systeme.
Diskrete dynamische Systeme (bspw. Bedingungs-/Ereignis-Systeme).
kontinuierlich-diskrete dynamische Systeme (auch bekannt als: hybride dynamische Systeme).
Differenzierbare dynamische Systeme: $(G,\cdot,e) = (\mathbb{R},+,0)$ , $Ω$ ist differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\varphi$ ist differenzierbar.
Reelles dynamisches System: $(G,\cdot,e) = (\mathbb{R},+,0)$ .
Symbolische Dynamik: $(G,\cdot,e) = (\mathbb{N}_0,+,0)$ oder $(G,\cdot,e) = (\mathbb{Z},+,0)$ , $\Omega = A^{\mathbb{N}_0}$ bzw. $\Omega = A^\mathbb{Z}$ für ein Alphabet $A$ ( $Ω$ ist also eine unendliche Sequenz von Symbolen aus $A$ ), $\varphi$ ist eine sogenannte Shiftabbildung, die die Symbole der Sequenz um eine Stelle verschiebt.

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Ein differenzierbares dynamisches System aus der Physik

Sei $M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit, beispielsweise eine nichtdegenerierte Energiefläche im $\mathbb{R}^n$ , und $X : M \to TM$ ein glattes Vektorfeld über $M$ . Dann existiert nach dem Satz von Picard-Lindelöf eine einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen $\varphi(t) : M \to M$ mit

$\varphi(0) = \operatorname{id}_M$

$\frac{d}{dt}\varphi(t) = X(\varphi(t))$

$\varphi(t)\circ\varphi(s) = \varphi(s+t) \qquad$ für alle $s, t$ aus $\mathbb{R}$ .

Halten wir einen Punkt $x$ aus $M$ fest, dann beschreibt $\varphi(t,x)$ die Lösungenskurve der Differentialgleichung $X$ auf $M$ zum Anfangswert $x$ . Man nennt diese zum glatten Vektorfeld $X$ korrespondierende 1-parametrige Gruppe den Fluss auf $M$ . Schränken wir die Parametrisierung auf $\mathbb{R}_+$ ein, dann erhalten wir eine dynamische Halbgruppe, betrachten wir die Zeit-1-Abbildung

$\psi = \varphi(1,\cdot)$ ,

dann erhalten wir ein diskretes dynamisches System mit $\psi^{n+1} = \psi\circ\psi^n$ .

[Bearbeiten] Ein dynamisches System aus der Biologie

Ein Beispiel eines dynamischen Systems aus der Biologie ist das sogenannte SIR-Modell, welches die Ausbreitung von Krankheiten in Populationen beschreibt.

[Bearbeiten] Weblinks

„History of Dynamical Systems“ in Scholarpedia (englisch, inkl. Literaturangaben)
Eugene M. Izhikevich (Hg.): „Encyclopedia of Dynamical Systems“ in Scholarpedia (englisch, inkl. Literaturangaben)

[Bearbeiten] Literatur

T. Schürmann and I. Hoffmann, The entropy of strange billiards inside n-simplexes. J. Phys. A28, page 5033ff, 1995. PDF-Dokument

R.S. Sreenivas and B.H. Krogh, ON Condition/Event Systems with Discrete State Realization. Discrete Event Dynamic Systems: Theory and Application 1, page 209ff, 1991.

J. de Vries, Elements of Topological Dynamics., Springer, 1993.

Diederich Hinrichsen and Anthony J. Pritchard, Mathematical Systems Theory I - Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness., Springer, 2005

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Formale Definition

[Bearbeiten] Erläuterung

[Bearbeiten] Wichtige Spezialfälle

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Ein differenzierbares dynamisches System aus der Physik

[Bearbeiten] Ein dynamisches System aus der Biologie

[Bearbeiten] Weblinks

[Bearbeiten] Literatur

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